Chanchal Ghosh Vol - 2 Triangle Part - 2 Question Answer | Mensuration | চঞ্চল ঘোষের নিমেষে অঙ্ক দ্বিতীয় খণ্ডের পরিমিতি ত্রিভুজের বিভিন্ন অঙ্ক ও সমাধান

নিমেষে অঙ্ক Vol - II : পরিমিতি : ত্রিভুজ : অংশ - 2

Q-11 : একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 12 সেমি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত ?

(A) 48√3 বর্গসেমি

(B) 36√3 বর্গসেমি

(C) 12√3 বর্গসেমি

(D) তথ্য অসম্পূর্ণ

Show Answer

সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা থেকে ক্ষেত্রফলের সূত্র = (উচ্চতা)$^{2} \div √3$
∴ একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 12 সেমি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
= $ \cfrac{(12)^2}{√3}$
= $ \cfrac{144}{√3}$
=$ \cfrac{144}{√3} \times \cfrac{√3}{√3} $
= $ \cfrac{\cancelto{48√3}{144√3}}{\cancel{3}}$
= 48√3 বর্গসেমি।

$\require{cancel}$

Q-12 : একটি সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ কোনো বিন্দু থেকে বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত লম্বগুলি যথাক্রমে 2 সেমি, 4 সেমি ও 3 সেমি হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

(A) 6 সেমি

(B) 8√3 সেমি

(C) 9 সেমি

(D) 12 সেমি

Show Answer

আমরা জানি, কোনো সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ কোনো বিন্দু থেকে বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত লম্বগুলির সমষ্টিই হল সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা।

∴ একটি সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ কোনো বিন্দু থেকে বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত লম্বগুলি যথাক্রমে 2 সেমি, 4 সেমি ও 3 সেমি হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা হবে
= 2+4+3 = 9 সেমি।

Q-13 : একটি সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ কোনো বিন্দু থেকে বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত লম্বগুলি যথাক্রমে 2 সেমি, 4 সেমি ও 6 সেমি হলে, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত ?

(A) 12 সেমি

(B) 8√3 সেমি

(C) 6√3 সেমি

(D) 4√3 সেমি

Show Answer

আমরা জানি, কোনো সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ কোনো বিন্দু থেকে বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত লম্বগুলির সমষ্টিই হল সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা।

∴ একটি সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ কোনো বিন্দু থেকে বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত লম্বগুলি যথাক্রমে 2 সেমি, 4 সেমি ও 6 সেমি হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা হবে
= 2+4+6 = 12 সেমি।
বাহু = উচ্চতা × $\cfrac{2}{√3}$
∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = $ 12 \times \cfrac{2}{√3}$
= $\cfrac{24}{√3}$
= $\cfrac{24}{√3} \times \cfrac{√3}{√3} $
= $\cfrac{\cancelto{8√3}{24√3}}{\cancel{3}}$
=8√3 সেমি।

Q-14 : একটি সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ কোনো বিন্দু থেকে বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত লম্বগুলি যথাক্রমে 2 সেমি, 4 সেমি এবং 6 সেমি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত ?

(A) 36√3 বর্গসেমি

(B) 12√3 বর্গসেমি

(C) 48√3 বর্গসেমি

(D) তথ্য অসম্পূর্ণ

Show Answer

আমরা জানি, কোনো সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ কোনো বিন্দু থেকে বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত লম্বগুলির সমষ্টিই হল সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা।

∴ একটি সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ কোনো বিন্দু থেকে বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত লম্বগুলি যথাক্রমে 2 সেমি, 4 সেমি ও 6 সেমি হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা হবে
= 2+4+6 = 12 সেমি।
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা থেকে ক্ষেত্রফলের সূত্র = (উচ্চতা)$^{2} \div √3$
∴ সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\cfrac{(12)^2}{√3}$
= $\cfrac{144}{√3}$
=$ \cfrac{144}{√3} \times \cfrac{√3}{√3} $
= $ \cfrac{\cancelto{48√3}{144√3}}{\cancel{3}}$
= 48√3 বর্গসেমি।

Q-15 : একটি সমবাহু ত্রিভুজের অন্তঃস্থিত কোনো বিন্দু থেকে উহার বাহু তিনটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সেমি,9 সেমি ও 12সেমি। ত্রিভুজটির পরিসীমা কত ?

(A) 18√3 সেমি

(B) 54√3 সেমি

(C) 27√3 সেমি

(D) 36√3 সেমি

Show Answer

আমরা জানি, কোনো সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ কোনো বিন্দু থেকে বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত লম্বগুলির সমষ্টিই হল সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা।

∴ একটি সমবাহু ত্রিভুজের অন্তঃস্থিত কোনো বিন্দু থেকে উহার বাহু তিনটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সেমি,9 সেমি ও 12সেমি হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা হবে
= 6+9+12 = 27 সেমি।
বাহু = উচ্চতা × $\cfrac{2}{√3}$
∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = $ 27 \times \cfrac{2}{√3}$
= $\cfrac{54}{√3}$
= $\cfrac{54}{√3} \times \cfrac{√3}{√3} $
= $\cfrac{\cancelto{18}{54}√3}{\cancel{3}}$
=18√3 সেমি।

∴ সমবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা = 3 × বাহু
= 3 × 18√3
= 54√3 সেমি।

Q-16 : একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা এবং ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান একই হলে, তার বাহুর সাংখ্যমান কত ?

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

Show Answer

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = a একক।
উচ্চতা = $\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ × বাহু ।
ক্ষেত্রফল =$ \cfrac{\sqrt{3}}{4}$ × (বাহু)$^2$ ।
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা এবং ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান একই ।

∴ $ \cfrac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \cfrac{\sqrt{3}}{2} \times a $
বা, $\cfrac{a^2}{a} = \cfrac{\cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{2}} \times \cfrac{\cancelto{2}{4}}{\cancel{\sqrt{3}}}$
বা, $ a = 2$
∴ একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা এবং ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান একই হলে, তার বাহুর সাংখ্যমান 2 একক হবে।

Q-17 : একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুই বাহুর দৈর্ঘ্য 13 সেমি এবং অপর বাহুটি 10 সেমি হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত ?

(A) 33 সেমি

(B) 39 সেমি

(C) 36 সেমি

(D) 30 সেমি

Show Answer

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = (2 × সমান বাহু + অপর বাহু)
= (2 × 13 + 10)
= 26+10
=36 সেমি।

Q-18 : একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটি 4 সেমি এবং অসমান বাহু 3 সেমি, তার উচ্চতা কত ?

(A) $\sqrt{\cfrac{55}{4}}$ সেমি

(B) $\cfrac{\sqrt{55}}{4}$ সেমি

(C) $\cfrac{\sqrt{55}}{2}$ সেমি

(D) $\cfrac{2}{\sqrt{55}}$ সেমি

Show Answer

সমান বাহু = a এবং অসমান বাহু = b সেমি।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = $ \sqrt{a^2 - (\cfrac{b}{2})^2 }$
=$ \sqrt{4^2 - (\cfrac{3}{2})^2 }$
=$ \sqrt{16 - \cfrac{9}{4} }$
=$ \sqrt{ \cfrac{64-9}{4} }$
=$ \sqrt{ \cfrac{55}{4} }$
=$ \cfrac{\sqrt{55}}{2} $ সেমি।

Q-19 : একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 16 সেমি এবং অপর দুটি বাহুর প্রত্যেকটি 17 সেমি, এর ক্ষেত্রফল কত ?

(A) 120 বর্গসেমি

(B) 183 বর্গসেমি

(C) 136 বর্গসেমি

(D) 272 বর্গসেমি

Show Answer

সমান বাহু = a = 17 সেমি এবং অসমান বাহু / ভূমি = b =16 সেমি।
উচ্চতা = $ \sqrt{a^2 - (\cfrac{b}{2})^2 }$
=$ \sqrt{(17)^2 - (\cfrac{\cancelto{8}{16}}{\cancel{2}})^2 }$
= $ \sqrt{289 - 64 }$
= $ \sqrt{225}$
= 15 সেমি।
∴ ক্ষেত্রফল = $\cfrac{1}{2}$ × ভূমি × উচ্চতা
= $\cfrac{1}{\cancel{2}} \times \cancelto{8}{16} \times 15$
= 120 বর্গসেমি।

Q-20 : কোনো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 544 সেন্টিমিটার এবং প্রত্যেক সমান বাহু ভূমির $\cfrac{5}{6}$ অংশ, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত ?

(A) 12872 বর্গসেমি

(B) 13872 বর্গসেমি

(C) 11821 বর্গসেমি

(D) 9802 বর্গসেমি

Show Answer

ধরি, ভূমি = x সেমি।
সমান বাহু = $\cfrac{5}{6} \times x = \cfrac{5x}{6} $ সেমি।
∴ শর্তানুসারে, $ \cancel{2} \times \cfrac{5x}{\cancelto{3}{6}} + x = 544 $
বা, $ \cfrac{5x}{3} + x = 544 $
বা, $ \cfrac{5x+3x}{3}=544$
বা, $ \cfrac{8x}{3}=544$
বা, $ x = \cancelto{68}{544} \times \cfrac{3}{\cancel{8}} $
বা, $ x = 68 \times 3 = 204 $
∴ ভূমি = 204 সেমি এবং সমান বাহু = $\cfrac{5}{\cancel{6}} \times \cancelto{34}{204} =170$ সেমি।

উচ্চতা = $ \sqrt{(170)^2 - (\cfrac{\cancelto{102}{204}}{\cancel{2}})^2 }$
= $\sqrt{(170+102)(170-102)}$
= $ \sqrt{ 272 \times 68} $
= $ \sqrt{ 2\times 2 \times 68 \times 68} $
= $ 2 \times 68 $
= 136 সেমি।

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\cfrac{1}{2}$ × ভূমি × উচ্চতা
= $\cfrac{1}{\cancel{2}} \times \cancelto{102}{204} \times 136$
= $ 102 \times 136 $
=13872 বর্গসেমি।

You May Read Also :