একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)
কষে দেখি 1.5
1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি—
(i). $ 2x^2+7x+3=0 $
সমাধান :
(ii). $ 3x^2-2\sqrt{6}x+2=0 $
সমাধান :
(iii). $ 2x^2-7x+9=0 $
সমাধান :
(iv). $ \cfrac{2}{5}x^2-\cfrac{2}{3}x+1=0 $
সমাধান :
2. k-এর কোন মান/মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি
(i). $ 49x^2 + kx + 1 = 0 $
সমাধান :
(ii). $ 3x^2 - 5x + 2k=0 $
সমাধান :
(iii). $ 9x^2 – 24x+k=0 $
সমাধান :
(iv). $ 2x^2+3x+k=0 $
সমাধান :
(v). $ x^2 – 2(5+2k)x+3(7+10k) = 0 $
সমাধান :
(vi). $ (3k+1)x^2+2(k+1)x+k=0 $
সমাধান :
3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—
(i). 4, 2
সমাধান :
(ii). – 4, -3
সমাধান :
(iii). 4, 3
সমাধান :
(iv). 5, – 3
সমাধান :
4. $m$-এর মান কত হলে, $4x^2+4(3m-1)x+(m+7)=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে।
সমাধান :
5. $(b–c)x^2+(c–a)x+(a–b)=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, $2b=a+c$
সমাধান :
6. $(a^2+b^2)x^2–2(ac+bd)x+(c^2+d^2)=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, $\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}$
সমাধান :
7. প্রমাণ করি যে, $2(a^2+b^2)x+2(a+b)x+1=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি $a \ne b$ হয়।
সমাধান :
8. $5x^2+2x-3=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ $\alpha$ ও $\beta$ হলে,
(i). $ (\alpha)^2+(\beta)^2 $
সমাধান :
(ii). $ (\alpha)^3+(\beta)^3 $
সমাধান :
(iii). $\cfrac{1}{\alpha} + \cfrac{1}{\beta}$
সমাধান :
(iv). $ \cfrac{\alpha^2}{\beta} +\cfrac{\beta^2}{\alpha} $
সমাধান :
9. $ax^2+bx+c=0$ সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে, $2b^2=9ac$.
সমাধান :
10. যে সমীকরণের বীজগুলি $x^2+px+1=0$ সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।
সমাধান :
11. $x^2+x+1=0$ সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।
সমাধান :
12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i). $x^2 - 6x + 2 = 0$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি -
(a) 2
(b)-2
(c) 6
(d)-6
সমাধান :
(ii). $x^2-3x+k=10$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল $–2$ হলে, $k$-এর মান -
(a)-2
(b)-8
(c) 8
(d) 12
সমাধান :
(iii). $ax^2+bx+c=0 (a≠0)$ সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, $b^2-4ac$ হবে -
(a) > 0
(b) = 0
(c) < 0
(d) কোনোটিই নয়
সমাধান :
(iv). $ax^2+bx+c=0 (a \ne 0)$ সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে -
(a) $ c= -\cfrac{b}{2a}$
(b) $ c= \cfrac{b}{2a}$
(c) $ c= \cfrac{-b^2}{4a}$
(d) $ c= \cfrac{b^2}{4a}$
সমাধান :
(v). $3x^2+8x+2=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$ হলে, $ (\cfrac{1}{\alpha} + \cfrac{1}{\beta} ) $ -এর মান
সমাধান :
(B). নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i). $x^2+x+1=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।
সমাধান :
(ii). $x^2 − x + 2 = 0$ সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।
সমাধান :
(C). শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i). $7x^2−12x+18=0$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত ______________
সমাধান :
(ii). $ax^2+bx+c=0 (a≠0)$ সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c = _______________
সমাধান :
(iii). $ax^2+bx+c=0 (a≠0)$ সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্মক) হলে, $a+c=$ __________
সমাধান :
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i). একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি ।
সমাধান :
(ii). $kx^2+2x+3k=0 (k=0)$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, $k$-এর মান লিখি ।
সমাধান :
(iii). $x^2-22x+105=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$ হলে, $(\alpha - \beta)$ -এর মান লিখি।
সমাধান :
(iv). $x^2-x=k(2x-1)$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, $k$-এর মান লিখি।
সমাধান :
(v). $x^2+bx+12=0$ এবং $x^2+bx+q=0$ সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, $q$-এর মান লিখি।
সমাধান :
0 Comments