(1) দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা কিনা বুঝে লিখি :
$x^2-7x+2$
এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা কারণ এক্ষেত্রে বহুপদী সংখ্যামালার $x$ এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 ।
(2) দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা কিনা বুঝে লিখি :
$7x^5-x(x+2)$
$7x^5-x(x+2)$
$=7x^5-x^2-2x$
এটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা হলেও দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয় কারণ এক্ষেত্রে
$x$ এর সর্বোচ্চ ঘাত 5 ।
(3) দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা কিনা বুঝে লিখি :
$2x(x+5)+1$
$2x(x+5)+1$
$=2x^2+10x+1$
এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা কারণ এক্ষেত্রে বহুপদী সংখ্যামালার $x$ এর
সর্বোচ্চ ঘাত 2 ।
(4) দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা কিনা বুঝে লিখি :
2x-1
এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয় কারণ এক্ষেত্রে $x$ এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 নয় ।
(5) নীচের সমীকরণটি $ax^²+bx+c=0$, যেখানে $a,b,c$ বাস্তবসংখ্যা এবং $a≠0$ আকারে লেখা যায় কিনা তা দেখি :
$x-1+\frac{1}{x}=6 , (x≠0)$
$x-1+\cfrac{1}{x}=6 $
বা, $ x+\cfrac{1}{x}=6+1$
বা, $\cfrac{x^2+1}{x}=7$
বা, $ x^2+1 = 7x $
বা, $ x^2-7x+1=0$
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2+bx+c$ আকারে প্রকাশ করা গেল ।
(6) নীচের সমীকরণটি $ax^²+bx+c=0$, যেখানে $a,b,c$ বাস্তবসংখ্যা এবং $a≠0$ আকারে লেখা যায় কিনা তা দেখি :
$x+\cfrac{3}{x}=x^2 , (x≠0)$
$x+\cfrac{3}{x}=x^2 $
বা, $\cfrac{x^2+3}{x}=x^2 $
বা, $ x^2+3 = x^3$
বা, $ -x^3+x^2+3=0$
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2+bx+c$ আকারে প্রকাশ করা গেল না ।
(7) নীচের সমীকরণটি $ax^²+bx+c=0$, যেখানে $a,b,c$ বাস্তবসংখ্যা এবং $a≠0$ আকারে লেখা যায় কিনা তা দেখি :
$x^2-6√x+2=0$
$x^2-6√x+2=0$
বা, $x^2-6x^{\frac{1}{2}}+2=0$
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2+bx+c$ আকারে প্রকাশ করা গেল না ।
(8) নীচের সমীকরণটি $ax^²+bx+c=0$, যেখানে $a,b,c$ বাস্তবসংখ্যা এবং $a≠0$ আকারে লেখা যায় কিনা তা দেখি :
$(x-2)^2 = x^2-4x+4$
$(x-2)^2 = x^2-4x+4$
বা, $x^2-2.x.2+2^2=x^2-4x+4$
বা, $x^2-4x+4=x^2-4x+4$
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2+bx+c$ আকারে প্রকাশ করা গেল না কারণ এটি একটি অভেদ
।
(9) $x^6-x^3-2=0$ সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
$x^6-x^3-2=0$
বা, $(x^3)^2 - x^3 -2 = 0 $
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2+bx+c$ আকারে প্রকাশ করা গেল এবং সমীকরণটি $x^3$ এর
সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।
(10) $(a-2)x^2+3x+5=0$ সমীকরণটি $a$ এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি ।
প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি $(a-2)= 0$ হয় ।
∴ $a=2$ হলে প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না ।
(11) $ \cfrac{x}{4-x}=\cfrac{1}{3x}$ $(x≠0, x≠4)$ কে $ ax^2+bx+c=0, (a≠0)$ আকারে প্রকাশ করলে, $x$-এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করো।
$ \cfrac{x}{4-x}=\cfrac{1}{3x}$
বা, $3x^2 = 4-x$
বা, $ 3x^2+x-4=0 $
∴ $x$-এর সহগ 1 ।
(12) $3x^2+7x+23 = (x+4)(x+3)+2$- কে $ax^2+bx+c =0 ,(a≠0)$ দ্বিঘাত সমীকরনের আকারে প্রকাশ করি ।
$3x^2+7x+23 = (x+4)(x+3)+2$
বা, $3x^2+7x+23=x^2+4x+3x+12+2$
বা, $3x^2+7x+23=x^2+7x+14$
বা, $3x^2-x^2+7x-7x+23-14=0$
বা, $2x^2+9=0$
বা, $2x^2+0x+9=0$
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2+bx+c$ আকারে প্রকাশ করা গেল যেখানে $a≠0$ ।
(13) $(x+2)^3=x(x^2-1)$ -কে $ax^2+bx+c=0,(a≠0)$ দ্বিঘাত সমীকরনের আকারে প্রকাশ করি এবং $x^2,x$ ও $x^0$ এর সহগ লিখি।
$(x+2)^3=x(x^2-1)$
বা, $ x^3+3.x^2.(2)+3.(x).(2)^2+(2)^3 =x^3-x $
বা, $x^3+6x^2+12x+8=x^3-x$
বা, $6x^2+13x+8=0$
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে $ax^2+bx+c$ আকারে প্রকাশ করা গেল যেখানে $a≠0$ এবং $x^2$
এর সহগ 6 , $x$ এর সহগ 13 এবং $x^0$ এর সহগ 8 ।
(14) একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি :
42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
ধরি , একটি অংশ $x$
∴ অপর অংশ $(42-x)$
শর্তানুসারে,
$x^2=(42-x)$
বা, $x^2+x-42=0$
∴ $x^2+x-42=0$ হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ ।
(15) একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি :
দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143
ধরি একটি সংখ্যা $x$
∴ অপর সংখ্যাটি হবে $(x+2)$
[ যেহেতু ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা ]
শর্তানুসারে,
$x(x+2)=143$
বা, $x^2+2x-143=0$
∴ $x^2+2x-143=0$ হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ ।
(16) একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি :
দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
ধরি , একটি সংখ্যা $x$
∴ অপর সংখ্যা $(x+1)$
শর্তানুসারে,
$x^2+(x+1)^2 =313$
বা, $x^2+x^2+2x+1=313$
বা, $2x^2+2x+1=313$
বা, $2x^2+2x+1-313=0$
বা, $2x^2+2x-312=0$
বা, $x^2+x-156=0$ [ উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই ]
∴ $x^2+x-156=0$ হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ ।
(17) একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি :
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
ধরি , আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $x$ মিটার।
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $(x+3)$ মিটার।
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য =√(দৈর্ঘ্য²+প্রস্থ²)
শর্তানুসারে ,
$ \sqrt{x^2+(x+3)^2}=15 $
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
বা, $x^2+(x+3)^2=(15)^2$
বা, $x^2+x^2+2.x.3+(3)^2=225$
বা, $2x^2+6x+9=225$
বা, $2x^2+6x+9-225=0$
বা, $2x^2+6x-216=0$
বা, $x^2+3x-108=0$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই ]
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল $x^2+3x-108=0 $
(18) একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি :
এক ব্যক্তি ৪০ টাকায় কয়েক কিগ্রা. চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা, প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো।
ধরি , প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য $x$ টাকা।
∴ 80 টাকায় পাওয়া যাবে $\cfrac{80}{x}$ কিগ্রা চিনি।
এখন প্রতি কিগ্রা চিনির দাম $(x-1)$ টাকা হলে,
80 টাকায় পাওয়া যাবে $\cfrac{80}{(x-1)}$ কিগ্রা চিনি।
শর্তানুসারে,
$\cfrac{80}{x-1} - \cfrac{80}{x} = 4$
বা, $\cfrac{80x-80(x-1)}{x(x-1)} = 4$
বা, $\cfrac{80x-80x+80}{x^2-x}=4$
বা, $\cfrac{80}{x^2-x}=4 $
বা, $\cfrac{20}{x^2-x}=1 $ [ উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে পাই ]
বা, $x^2-x=20$
বা, $ x^2-x-20=0$
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল $x^2-x-20 =0 $
(19) একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি :
দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত।
ধরি , ট্রেন টির গতিবেগ $x$ কিমি/ঘন্টা
∴ 300 কিমি যেতে ট্রেনটির সময় লাগবে $\cfrac{300}{x}$ ঘন্টা [ যেহেতু , সময় =
দূরত্ব /গতিবেগ]
ট্রেনটির গতিবেগ $(x+5)$ কিমি প্রতি ঘণ্টা হলে, 300 কিমি যেতে সময় লাগবে
$\cfrac{300}{(x+5)}$ ঘণ্টা [ যেহেতু , সময় = দূরত্ব /গতিবেগ]।
শর্তানুসারে ,
$\cfrac{300}{x} - \cfrac{300}{x+5} = 2 $
বা, $\cfrac{150}{x} - \cfrac{150}{x+5} = 1 $ [ উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে
পাই ]
বা, $\cfrac{150(x+5)-150x}{x(x+5)}=1$
বা, $ \cfrac{150x+750-150x}{x^2+5x}=1$
বা, $\cfrac{750}{x^2+5x}=1$
বা, $x^2+5x=750$
বা, $x^2+5x-750=0 $
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল $x^2+5x-750=0$ ।
(20) একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি :
একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায়ে বিক্রি করলেন । তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হল ।
ধরি , ঘড়িটি তিনি $x$ টাকায় ক্রয় করেছিলেন ।
ঘড়িটি বিক্রি করেছেন 336 টাকায়।
∴ লাভ= বিক্রয় মূল্য – ক্রয়মূল্য =$(336-x)$ টাকা।
∴ শতকরা লাভ= (লাভ/ক্রয়মূল্য)×100
$=\cfrac{(336-x)}{x} × 100$ %
শর্তানুসারে ,
$\cfrac{(336-x)}{x} × 100 = x $
বা, $x^2=33600-100x$
বা, $x^2+100x-33600=0$
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল $x^2+100x-33600=0$ ।
(21) একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি :
স্রোতের বেগ ঘণ্টায়ে 2 কিমি হলে রতন মাঝি স্রোতের অনুকুলে 21 কিমি গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আস্তে 10 ঘণ্টা সময় লাগে ।
ধরি, নৌকার বেগ $x$ কিমি /ঘণ্টা।
∴স্রোতের অনুকুলে নৌকার বেগ $(x+2)$ কিমি/ ঘণ্টা
এবং স্রোতের প্রতিকুলে নৌকার বেগ $ (x-2)$ কিমি/ ঘণ্টা।
[ সময় = দুরত্ব/গতিবেগ ]
∴ স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. যেতে সময় লাগে $\cfrac{21}{(x+2)}$ ঘণ্টা
এবং স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি. ফিরে আসতে সময় লাগে$\cfrac{21}{(x-2)}$ ঘণ্টা ।
শর্তানুসারে,
$\cfrac{21}{x+2} + \cfrac{21}{x-2} = 10 $
বা, $\cfrac{21(x-2)+21(x+2)}{(x+2)(x-2)}=10$
বা, $\cfrac{21x-42+21x+42}{x^2-2^2}=10$
বা, $\cfrac{42x}{x^2-4}=10$
বা, $ 10x^2-40=42x $
বা, $5x^2-20=21x $ [ উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই ]
বা, $5x^2-21x-20=0$
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল $5x^2-21x-20=0$।
(22) একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি :
আমাদের বারির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয় একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে ।
ধরি, মহিমের বাগান পরিষ্কার করতে সময় লাগে $x$ ঘণ্টা।
∴ মজিদের সময় লাগে $(x+3)$ ঘণ্টা।
∴মহিম x ঘণ্টায় কাজ করে 1 অংশ।
∴ মহিম 1 ঘণ্টায় কাজ করে $\cfrac{1}{x}$ অংশ।
মজিদ $(x+3)$ ঘণ্টায় কাজ করে 1 অংশ।
∴ মজিদ 1 ঘণ্টায় কাজ করে $\cfrac{1}{(x+3)}$ অংশ ।
শর্তানুসারে,
$ \cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{(x+3)}= \cfrac{1}{2}$
বা, $ \cfrac{x+3+x}{x(x+3)}=\cfrac{1}{2}$
বা, $\cfrac{2x+3}{x^2+3x} = \cfrac{1}{2}$
বা, $x^2+3x=4x+6 $
বা, $x^2+3x-4x-6 =0 $
বা, $x^2-x-6=0 $
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল $x^2-x-6=0$ ।
(23) একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি :
দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুনফল সংখ্যাটি থেকে 12 কম ।
ধরি দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক $x$
∴ একক স্থানীয় অঙ্ক হবে $(x+6)$
∴ দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যাটি হল $10x+(x+6)$$=11x+6$
শর্তানুসারে ,
$x(x+6)=(11x+6)–12$
বা, $x^2+6x=11x-6$
বা, $x^2+6x-11x+6=0$
বা, $x^2-5x+6=0$
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল $x^2-5x+6=0$।
(24) একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি :
45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্থ একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার ।
ধরি রাস্তাটি $x$ মিটার চওড়া।
∴ রাস্তা সহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $(45+2x)$ মিটার।
এবং রাস্তা সহ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $(40+2x)$ মিটার।
শর্তানুসারে,
$(45+2x)×(40+2x)- (45×40)= 450$
বা, $1800+90x+80x+4x^2 -1800=450$
বা, $4x^2+170x-450=0$
বা, $2x^2+85x-225=0$
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল $2x^2+85x-225=0$ ।
0 Comments