NUMBER SYSTEM | LESSON - 1 | CHANCHAL GHOSH NIMESHE ANKO | চঞ্চল ঘোষের নিমেষে অঙ্ক | নাম্বার সিস্টেম

01. 60 এবং 75 -এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার যোগফল হল -

272

200

211

199

Show Answer

Solution :

60 ও 75 এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলি হল – $61, 67, 71, 73$
∴ যোগফল $= 61+67+71+73 = 272$

02. দুটি সংখ্যার গুণফল ও ভাগফল 128 এবং 2 হলে বড় সংখ্যাটি হবে -

18

16

14

19

Show Answer

Solution :

ধরি, সংখ্যা দুটি a ও b
∴ $a \times b = 128 $
এবং $ \cfrac{a}{b} = 2 $
∴ $a \times b \times \cfrac{a}{b} = 128 \times 2 $
or, $a \times a = 256 $
or, $a^2 = 256 $
or, $a = \sqrt{256} $
or, $a = 16 $
∴ $b = \cfrac{128}{16} = 8 $
∴ বড় সংখ্যা $= 16$

03. তিন অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যা 10, 12, 15 দিয়ে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 4 ভাগশেষ থাকে?

964

784

992

996

Show Answer

Solution :

তিন অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যা = 999
এবার যে যে সংখ্যাগুলি দিয়ে ভাগ করতে বলা হয়েছে, তাদের ল.সা.গু. করে ল.সা.গু. দিয়ে 999 কে ভাগ করব।
∴ 10, 12, 15 -এদের ল.সা.গু. $=5 \times 2 \times 3 \times 2 = 60$
ল.সা.গু. 60 দিয়ে 999 কে ভাগ করলে, ভাগশেষ থাকে = 39

∴ 60 দ্বারা বিভাজ্য তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = 999 - 39 = 960

এবার প্রতিক্ষেত্রে 4 ভাগশেষ যাতে থাকে তার জন্য ল.সা.গু. দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার সাথে 4 যোগ করতে হবে।

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 960+4 = 964

04. ছয়টি ক্রমিক সংখ্যার প্রথম তিনটির যোগফল 36, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুটির যোগফল -

25

26

29

27

Show Answer

Solution :

ক্রমিক সংখ্যা মানে পরপর সংখ্যা, যেমন - 1, 2, 3

ধরি, ছয়টি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5

প্রশ্নে বলা হয়েছে প্রথম তিনটির যোগফল 36

∴ $x+(x+1)+(x+2) = 36 $
or, $ 3x + 3 = 36 $
or, $ 3x = 36 - 3 $
or, $ 3x = 33 $
or, $ x = \cfrac{33}{3} $
or, $ x = 11 $

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুটির যোগফল $= (x+5)+x$
$ = 2x+5 $
$= (2 \times 11) +5$
$ = 22+5=27 $

05. যে ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা 16, 24, 32 দ্বারা বিভাজ্য তা হল -

296

256

324

576

Show Answer

Solution :

কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুন করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, সেটি হল পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
যেমন - $5 \times 5 = 25$ , 25 হল পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

বলা আছে, 16, 24, 32 দ্বারা বিভাজ্য।

প্রথমে 16, 24, 32 কে উৎপাদকে ভাঙতে হবে।
উৎপাদকে ভেঙে পেলাম $16\times24\times32 $
$= (2\times2)\times(2\times2)\times(2\times3)$

দেখছি যে, একদম শেষে $(2\times3)$ জোড়ায় নেই, একটি একটি আছে।

∴ $(2\times3) = 6 $ দ্বারা গুন করলে সমস্ত উৎপাদক জোড়ায় জোড়ায় থাকবে অর্থাৎ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ নির্ণেয় পূর্ণবর্গ সংখ্যা
$ = (2\times2)\times(2\times2)\times(2\times2)\times(3\times3)$
$ = 576$

06. একটি সংখ্যাকে $63$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে $45$, সেই সংখ্যাকে $21$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে -

18

2

3

None of these

Show Answer

Solution :

$63 = 3 \times 21$

∵ $21$ হল $63$ -এর উৎপাদক।

∴ সংখ্যাটি $63$ দ্বারা যতদূর ভাগ করা সম্ভব হয়েছে, ঠিক ততটাই $21$ দ্বারাও ভাগ যাবে। তাই এখন দেখার বিষয় হল, ভাগশেষ $45$ কে $21$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হয়।

∴ $45 \div 21 = 2\cfrac{3}{21} $

∴ $3$ ভাগশেষ থাকবে।

07. $160$ -এর নিকটবর্তী কোন সংখ্যাকে $8$ এবং $9$ দিয়ে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে $3$ অবশিষ্ট থাকবে ?

230

147

75

220

Show Answer

Solution :

$8$ এবং $9$ -এর ল.সা.গু. = $72$

এবার দেখা যাক, $72$ -এর কোন গুনিতক $160$ -এর কাছাকাছি -

$72 \times 2 = 144$

$72 \times 3 = 216$

∴ $144$ হল নিকটবর্তী

প্রতিক্ষেত্রে $3$ অবশিষ্ট থাকবে বলেছে, তাই নিকটবর্তী $144$ -এর সাথে $3$ যোগ হবে।

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি $= 144 + 3 = 147 $

08. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে $45$ দিয়ে গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে -

5

3

9

15

Show Answer

Solution :

ঠিক আগের মতো, $45$ কে উৎপাদকে ভাঙতে হবে।

$ 45 = 3\times 3 \times 5 $

দেখছি $5$ একটি রয়েছে।

পূর্ণবর্গ মানে উৎপাদক জোড়ায় জোড়ায় থাকবে।

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $=5$

09. যদি $8*357$ সংখ্যাটি $11$ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে লুপ্ত অঙ্কটি $(*)$ হবে -

4

1

3

2

Show Answer

Solution :

$11$ দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম : কোনো সংখ্যার জোড় ও বিজোড় স্থানের অঙ্ক সমষ্টির পার্থক্য $0$ বা $11$ -এর গুনিতক হলে, সংখ্যাটি $11$ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

প্রদেয় সংখ্যাটি = $8*357$

বিজোড় স্থানের অঙ্ক সমষ্টি $= 8 + 3 + 7 = 18$

জোড় স্থানের অঙ্ক সমষ্টি $= * + 5 $

$ (* + 5)-18=0$

$ * -13=0 $

$ * = 13 $

এখন, জোড় ও বিজোড় স্থানের অঙ্ক সমষ্টির পার্থক্য $0$ করতে গেলে, $*$ -এর মান হতে হবে $13$ । কিন্তু $13$ তো দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যা, যা হওয়া সম্ভব নয়। $*$ -এর মান এক অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যা হবে।

∴ পার্থক্য 11 -এর গুনিতক হলে, প্রথমে 11 কে নিয়ে দেখব

$ 18 - (* + 5)= 11$

$ 18 - * -5 = 11 $

$ -* = 11-18+5 $

$ -* = -2 $

$ * = 2 $

∴জোড় ও বিজোড় স্থানের অঙ্ক সমষ্টির পার্থক্য $11$ করতে গেলে, $*$ -এর মান হতে হবে $2$

10. দুটি সংখ্যার যোগফল $12\cfrac{1}{2}$ এবং বিয়োগফল $3\cfrac{1}{2}$ হলে সংখ্যা দুটির গুণফল হবে -

36

$32\cfrac{1}{2}$

$35\cfrac{1}{2}$

35

Show Answer

Solution :

ধরি, সংখ্যা দুটি $a , b$

∴ $a+b = 12\cfrac{1}{2} = \cfrac{25}{2} $
এবং $a-b = 3\cfrac{1}{2} = \cfrac{7}{2}$

আমরা জানি, $ab = ({\cfrac{a+b}{2}})^2 - ({\cfrac{a-b}{2}})^2 $

∴ $a\times b = ({\cfrac{\cfrac{25}{2}}{2}})^2 - ({\cfrac{\cfrac{7}{2}}{2}})^2 $
$= ({\cfrac{25}{2}} \times {\cfrac{1}{2}})^2 - ({\cfrac{7}{2}} \times {\cfrac{1}{2}})^2 $
$ = ({\cfrac{25}{4}})^2 - ({\cfrac{7}{4}})^2 $
$ = ({\cfrac{25}{4}} +{\cfrac{7}{4}})({\cfrac{25}{4}} - {\cfrac{7}{4}}) $
$ [ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) ] $
$ = ({\cfrac{25+7}{4}})({\cfrac{25-7}{4}}) $
$ = ({\cfrac{32}{4}})({\cfrac{18}{4}}) $
$ = 8 \times ({\cfrac{9}{2}}) $
$ = 4 \times 9 = 36 $

You May Read Also :